Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán: Đồ thị bậc 2 - Tương giao bậc 1 và 2

HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI

HÀM SỐ y=ax (a≠0)

Dạng 1: Tìm m để A(x ; y ) nằm trên đồ thị
0 0
Phương pháp: Thay x =x ; y0 y vào0đồ thị để tìm m.

BÀI TẬP:
Bài 1: Cho y = mx .2

a) Tìm m biết đồ thị qua C(2;8).

b) Biết điểm A(2;b) thuộc đồ thị, hỏi điểm B(-2;b) có thuộc đồ thị không? vì sao?
c) Biết D(a; -4) thuộc đồ thị, hỏi điểm E(a; 4) có thuộc đồ thị không? vì sao?

HD:

a) Vì đồ thị qua C(2;8) nên thay x=2; y=8 vào đồ thị ta được: 8=m.4  m =2. Vậy y
=2x .

b) Vì điểm A(2;b) thuộc đồ thị nên b=m.2 hay b=4m (1)
2
Thay tọa độ điểm B(-2;b) vào đồ thị ta được: b =m(-2) hay b =4m (2)
Từ (1)(2) suy ra B(-2;b) thuộc đồ thị.

c) Thay D(a;-4) vào đồ thị ta được: -4 = ma .
2
Thay E(a;4) vào đồ thị ta được: 4 =ma . Suy ra E không thuộc đồ thị.

Dạng 2: Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến, đạt GTLN, GTNN bằng 0.

Phương pháp:
 Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0.

 Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0.

 Hàm số đạt GTNN bằng 0 khi a > 0.

 Hàm số đạt GTLN bằng 0 khi a < 0.
BÀI TẬP:

Bài 1: Cho y =(m-1)x .2

a) Tìm m để hàm số đồng biến với x >0.
b) Tìm m để hàm số nghịch biến với x < 0.

c) Hàm số nghịch biến với x> 0.

HD:
a) Hàm số đồng biến với x >0 khi m-1 > 0  m>1.

b) Hàm số nghịch biến với x <0 khi m-1 >0  m >1.

c) Hàm số nghịch biến với x > 0 khi m-1 <0  m<1.

Bài 2: Cho y =(m -m)x . Tìm m để:

GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 1
Phương pháp giải toán Đại số 9

a) Hàm số đạt GTNN bằng 0.
b) Hàm số đạt GTLN bằng 0.

HD:
2
a) Hàm số đạt GTNN bằng 0 khi m –m > 0  m(m-1) > 0  m > 1 hoặc m < 0.
2
b) Hàm số đạt GTLN bằng 0 khi m –m < 0  0 < m < 1.

2
Dạng 3: Vẽ đồ thị hàm số y= ax ( a≠ 0).

Phương pháp: Đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng, Các em kẻ bảng các giá trị
tương ứng x, y, tìm 5 điểm đồ thị đi qua rồi vẽ.

BÀI TẬP:
Bài 1: Vẽ đồ thị hàm số y = x .

Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng.

x -2 -1 0 1 2

y 4 1 0 1 4
- Vẽ đồ thị:

4 Y

3

2

1

-3 -2 -1 O 2 1 2 3 x

-1

2
Dạng 4: Tìm m để hai đồ thi y=f(x)=mx+n và y=g(x)=ax +bx+c tiếp xúc nhau:

Phương pháp:

- Xét giao điểm của 2 đồ thị thỏa mãn phương trình: f(x)=g(x).

2
- Đưa phương trình về dạng: Ax +Bx+C=0 (1).

Gv: Nguyền Chí Thành 0975705122
2
HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI

- Để hai đồ thị tiếp xúc nhau thì phương trình (1) phải có nghiệm kép:

𝐴 ≠ 0
2 Từ đó tìm được m.
∆= 𝐵 − 4𝐴𝐶 = 0

BÀI TẬP:

2
Bài 1: Cho Parabol (P) y = ax tiếp xúc với đường thẳng (d): y = x - 1
a. Xác định hệ số a

b. Tìm toạ độ tiếp điểm của (d) và (P)

Giải

a. Phương trình hoành độ của (P) và (d)
2
ax -x+1=0. Ta có:  =1-4a
1
Vì (P) tiếp xúc (d)   = 0  1-4a=0  a 
4

1 2
 Phương trình (P): y 4 x

1 2
b. Phương trình hoành độ điểm chung của (P) và (d) là: x  x 1  0
4
x 4x  4  0

  44  0  x 1 x 2 2

 y  .2 1
4

Toạ độ tiếp điểm là: (2; 1)

Bài 5: Cho Parabol: y=x . Xác định hệ số n để đường thẳng: y=2x+n tiếp xúc với

(P). Tìm toạ độ tiếp điểm

Giải

- Phương trình hoành độ điểm chung của (P) và (d ) là:
2 ' '
x -2x-n=0. Ta có:   1 n. Vì (P) và (d) tiếp xúc    0  1 n  0  n  1
- Lúc đó phương trình đường thẳng là: y=2x-1

- Phương trình hoành độ điểm chung là: x -2x+1=0

- Giải phương trình được: x 1x =2
2
 y=1 =1

Toạ độ tiếp điểm là: (1; 1)
Bài 6: Cho (P): y = x lập phương trình đường thẳng (d) song song với đường

thẳng (d1): y = 2x và tiếp xúc với (P).

GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122
3
Phương pháp giải toán Đại số 9
Giải

- Phương trình có dạng: y=ax+b

- Vì (d) song song d1 a=2

- Vì (d) tiếp xúc (P)  Phương trình hoành độ điểm chung của (d) và (P) là:
x -2x-b = 0. Ta có: =1+b

- Vì tiếp xúc  =0 b = -1

Bài 7: Cho (P): y=x lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1;0) và tiếp xúc

với (P)

Giải
- Phương trình có dạng: y=ax+b

- Phương trình hoành độ điểm chung của (P) và (d):
2
x -ax-b=0
2
=a +4b
Vì (P) và (d) tiếp xúc  =0  a +4b=0 (1)

(d) đi qua điêmr A (1;0)  a+b=0 (2)

a b  0
Từ (1) và (2) ta có hệ:a  4b  0

a  0a  4
Giải hệ ta được:  
b  0b  4
Phương trình đường thẳng (d) là: y=0; y=4x-4

2
Dạng 5: Tìm m để hai đồ thi y=f(x)=mx+n và y=g(x)=ax +bx+c cắt nhau tại
hai điểm phân biệt:

- Xét giao điểm của 2 đồ thị thỏa mãn phương trình: f(x)=g(x).

- Đưa phương trình về dạng: Ax +Bx+C=0 (1).

- Để hai đồ thị cắt nhau tại 2 điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có 2
nghiệm phân biệt:

𝐴 ≠ 0 Từ đó tìm được m.
∆= 𝐵 − 4𝐴𝐶 > 0

2
Bài 1: Cho Parabol (P): y=x . Xác định hệ số n để đường thẳng: y=2x+n cắt P tại

hai điểm phân biệt.

Gv: Nguyền Chí Thành 0975705122 4
HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI
Giải

- Phương trình hoành độ điểm chung của (P) và (d ) là:
2 ′
x -2x-n=0. Ta có: ∆ = 1 + 𝑛. Để đường thẳng cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì
phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Suy ra ∆ = 1 + 𝑛 > 0  n > -1

Vậy n> -1 thì ………

Bài 6: Cho (P): y = x tìm m để đường thẳng (d) : y = 2mx+m-2 cắt (P) tại hai

điểm phân biệt.

Giải
Xét phương trình hoành độ giao điểm: x = 2mx +m-1  x -2mx-m+2 =0 (1)

2
Ta có: ∆ = 4m + 4m -8 = 4(m-1)(m+2).
Để hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm

phân biệt. Suy ra ∆ > 0  4(m-1)(m+2) > 0  m > 1 hoặc m < -2 ( các em tự giải)

Vậy:  m > 1 hoặc m < -2 thì hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

Dạng 6: Chứng minh hai đồ thị luôn cắt nhau, luôn tiếp xúc hoặc không cắt

nhau với mọi m.

Phương pháp:

- Xét giao điểm của 2 đồ thị thỏa mãn phương trình: f(x)=g(x).

- Đưa phương trình về dạng: Ax +Bx+C=0 (1).

+ Hai đồ thị luôn cắt nhau khi: 2 ≠ 0 𝑉ớ𝑖 𝑚ọ𝑖 𝑚
∆= 𝐵 − 4𝐴𝐶 > 0

𝐴 ≠ 0
+ Hai đồ thị luôn tiếp xúc khi: ∆= 𝐵 − 4𝐴𝐶 = 0 𝑣ớ𝑖 𝑚ọ𝑖 𝑚.

2
+ Hai đồ thị không cắt nhau khi: ∆= 𝐵 − 4𝐴𝐶 < 0 Với mọi m.

1 2
Bài 1: Cho Parabol (P): y 2 x và đường thẳng (d) có phương trình: y=2x-2

Chứng tỏ rằng đường thẳng (d) và parabol (P) có điểm chung duy nhất. Xác định

toạ độ điểm chung đó.
HD:
2 2
Xét phương trình hoành độ giao điểm: 1/2x = 2x-2  x – 4x+4 = 0.
2
Ta có: ∆= 4 − 4.4 = 0 suy ra phương trình có nghiệm kép. Vậy (d) luôn tiếp xúc
(P)

GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 5
Phương pháp giải toán Đại số 9
Hoành độ tiếp điểm là: x = 2; suy ra y = 2. Vậy tiếp điểm là A(2;2).

2
Bài 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = x và đường thẳng (d) :

y = 2x + 3
a) Chứng minh rằng (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt

b) Gọi A và B là các điểm chung của (d) và (P) . Tính diện tích tam giác OAB ( O

là gốc toạ độ)
HD:

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm:
2 2 2
x = 2x+3  x -2x-3 =0 (1). Ta có: ∆= 2 + 4.3 = 16 > 0 nên phương trình
luôn có hai nghiệm. Vậy (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

b) Phương trình (1) có hai nghiệm là x = -1 và x =3. Suy ra A(-1; 1) và B(3;9)

Dựa vào hình vẽ các em tính diện tích OAB.

Bài 3: Cho hàm số y=(2m-1)x -2m 2

a. Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua điểm (2;-4). Vẽ đồ thị với giá trị

m tìm được.
b. Chứng minh rằng đường thẳng y= x-2 luôn cắt đồ thị trên với mọi giá trị của m

HD:

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm: (2m-1)x -2m= x-2

2
 (2m-1)x - x+2-2m =0. (1)

Xét m =1/2. Thay vào (1) suy ra x =1. Suy ra hai đồ thị cắt nhau tại điểm có tọa độ

x =1; y = -1.

2
Xét m ≠ 1/2. Ta có: ∆= 1 − 4 2𝑚 − 1 (2 − 2𝑚)

∆= 1 + 16𝑚 − 24𝑚 + 8 = (4𝑚 − 3) ≥ 0 suy ra phương trình luôn có nghiệm.

nên 2 đồ thị luôn cắt nhau.

Vậy: đường thẳng y = x-2 luôn cắt đồ thị trên với mọi giá trị của m

2
Bài 4: Cho (P): y = 1/4x và y =mx+2 (d). Chứng minh (P) luôn cắt (d) tại hai

điểm phân biệt có hoành độ x ; 1 v2 |x –x1| ≥24 2

HD:

2
Xét phương trình hoành độ giao điểm: x -4mx -8=0.

Gv: Nguyền Chí Thành 0975705122 6
HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI
2
delta= 16m +32 > 0 nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt, suy ra 2 đồ

thị luôn cắt nhau taiij 2 điểm phân biệt.

2 2 2
Ta có: (x 1x )2= (x +x1) -42 x = 11 2+32 ≥ 32 nên |x –x | ≥ 4 2 1 2

Dạng 7: Lập phương trình đường thẳng cắt P tại hai điểm phân biệt thỏa mãn

điều kiện K.

Bước 1: Tìm điều kiện để 2 đt cắt nhau.

Bước 2: Viết hệ thức Viet.

Bước 3: Biến đổi điều kiện K để xuất hiện x +x và x x rồi thay Viet vào để tìm
1 2 1 2
m.

Bước 4: So sánh m với điều kiện ban đầu và kết luận.

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = 2x-m+1 và parabol

(P): y= x1 2.
2

a) Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 3).

b) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ (x ; y 1 và1(x ; y 2 s2o cho

x1 2 1y 2 480 .

HD:

Bước 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm:
2 2
1/2x = 2x –m +1  x -4x +2m -2 =0.

∆ = 16 -4(2m-2) = 24-8m = 8(3-m).
Để hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm

phân biết suy ra ∆ > 0  3-m > 0  m < 3.

Bước 2: Theo định lí Viet ta có: x +x 1 4;2x .x = 1m-2.

Bước 3: Ta có: x x 1 2+y1) +28= 0  x x (2x 1 21 +21 -m+1) +48 20

 x x1 2x +21 -2m+2) +48 =0  (2m-2)(8-2m+2) +48 =0
2
 (2m-2)(10-2m)+48 =0  -4m +24m +28 =0  m =7 (loại) hoặc m = -1 (tm)

Bước 4: Vậy m = -1 thì hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm thỏa mãn yêu cầu.

Bài 2: Cho đường thẳng (d): y= mx –m +2 và (P): y= x . Tìm m để (d) cắt (P) tại

hai điểm phân biệt A(x ; 1 ) 1à B(x ; y2) s2o cho y + y 112. 2

GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122
7
Phương pháp giải toán Đại số 9
HD:

2 2
Xét phương trình hoành độ giao điểm: x = mx –m +2  x –mx +m-2 =0

Để hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm
phân biệt. Suy ra ∆ > 0  m - 4m +8 > 0  (m-2) +4 > 0 ( luôn đúng)2

Vậy hai đồ thị luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A(x ; y ) và B(x ; y1) 1 2 2

Theo định lý ViET ta có: x + x = m;1x .x 2 m-2. 1 2

Ta có: y + 1 = 122 (mx –m +2 )+( m1 –m +2 ) =12 2

2
 m(x + x1) -2m 24 =12  m.m -2m -8 =0  m -2m -8 =0 

m= 4 hoặc m = -2. Vậy m= 4 hoặc m = -2 thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt

A(x ; y ) và B(x ; y ) sao cho y + y =12.
1 1 2 2 1 2

Các bài tiếp các em tự làm nhé.

2
Bài 3: cho y=x /2 và y= 1/2x+n

a) Với n=1. Vẽ d và (P) trên cùng một hệ trục, tìm tọa độ giao điểm A và B của hai
đồ thị, tính diện tích và chu vi tam giác AOB.

b) Tìm n để (d) tiếp xúc (P).

c) Tìm n để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm ở hai phía trục tung.

2
Bài 4: Cho y=mx và y= -3x+1. Tìm m để hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân

biệt nằm cùng phía trục tung.

Bài 5: Cho y= x /2 và y=mx+2. Tìm m để hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân

biệt có hoành độ x ; x ; mà 𝑥 + 𝑥 đạt giá trị nhỏ nhất.
1 2 1 2

Bài 6: Cho y=x và y=mx+m+1.

a) Tìm m để hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B.

b) gọi x ;1x l2 hoành độ giao điểm của A và B. Tìm m để | x - x |=2. 1 2

m giác ABC

Gv: Nguyền Chí Thành 0975705122
8