Bài tập vận dụng cao số phức ôn thi THPT quốc gia

Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao

Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn z  1. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất của biểu thức P  z1  z  z1 . Tính giá trị của M.n

13 3 39 13
A. B. C. 3 3 D.
4 4 4
 Cách 1:

Re(z) là phần thực của số phức z, Im(z) là phần ảo của số phức z, z 1 z.z 1

 Đặt t  z 1, ta có0  z 1 z 1  z 1 2  t ;2 
2
 t 1 z1 z 1 z.z  z  z  2 2Re(z) Re(z)  2
  2
2 2 2
 z z1  z z z.z  z z1 z  t 3

 Xét hàm số: f  t  t 3 ,t0;2. Xét 2 TH:

13 13 3
 Maxf   ; Minf  3  M.n 
4 4
 Cách 2:

 z   cosx isinx  a bi
 2
 Do z 1 z.z  z 1
r a 2b2 1

 P  2 2cosx  2cosx 1 , đặt t  cosx 1;  f   2 2t  2t 1

 1
 TH1: t 1; 2
 
maxf   f   3
1 
f    2 2t 2  0 minf   f    3
  

 TH1: t 1;1
2 

f'  1 2  0    7 maxf   f 7  13
22t 8  8  4

13 13 3
 Maxf   4 ; Minf  3  M.n  4

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn z 34i  5 . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị
2 2
nhỏ nhất của biểu thức P  z 2  z i . Tính module số phức w  M mi .

A. w  2 314 B. w  1258 C. w  3 137 D. w  2 309
 Cách 1:

P4x3
 P  4x2y 3 y  2
2
 z 34i  5  x3  4 25 x   P 4x3 4  5 f  
 2 

 f   8x  8P  4x 1  0  x  0,2P 1,6  y  0,1P 1,7
2 2 P 33
 Thay vào f  ta được: 0,2P 1,63 0,1P 1,7 4  5 0  
P 13
 Cách 2:

 z 34i  5  x    5: C2  

 ():4x  2y 3 P  0
 Tìm P sao cho đường thẳng  và đường tròn C có điểm chung
 
 d ;  R  23 P 10 13 P  33

 Vậy MaxP 33 ; MinP 13

 w 3313i  w  1258

Bài 3: Cho số phức z thỏa mãn z 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thứcP  z1 2 z1

.

A. B. C. D.
Pmax 2 5 Pmax 2 10 Pmax 3 5 Pmax 3 2
 Giải: Theo BĐT Bunhiacopxki:

 P  z1 2 z1   2 2 z1  z1 2  10 z 1  2 5
   

Bài 4: Cho số phức z  x yix, yR  thỏa mãn z  2 4i  z  2i m  min z . Tính

module số phức w  m x   i.

A. w  2 3 B. w 3 2 C. w  5 D. w  2 6

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 Cách 1:

 z  2 4i  z  2i  x  y  4
2
2 2 x y 42
 z  x  y    2 2
2 2
x  y  4 x  2
 min z  2 2, Dấu “=” xảy ra khi     w  2 2 4i  w  2 6
x  y y  2

2
Chú ý: Với mọi x, y là số thực ta có: x  y  x  y
2

Dấu “=” xảy ra khi x  y

 Cách 2:

 z  2 4i  z  2i  y  4 x
2 2 2 2 2
 z  x  y  x  4    2 x2 8 2 2

x  y  4 x  2
 min z  2 2. Dấu “=” xảy ra khi x  2  y  2 w  2 2 4i  w  2 6
 

Bài 5: Cho số phức z  x yix, yR thỏa mãn z i 1  z 2. Tìm môđun nhỏ nhất

của z.

1
A. min z  2 B. min z 1 C. min z  0 D. min z 
2
 Cách 1:

 z i 1  z 2i  x  y 1

x  2 1
 x  y  
2 2
1 1
 z  x  y  
2 2

2
Chú ý: Với mọi x, y là số thực ta có: x  y  x  
2

 Cách 2:
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 z i 1  z 2i  y  x 1

2
 z  x  y  x  x  1 2  2x 1   1  1  1
   2 2 2 2

1
 Vậy min z 
2

Bài 6: Cho số phức z thỏa mãn z 1. Gọi M và m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

biểu thức P  z  3z  z  z  z Tính M m

7 3 15
A. B. 13 C. D.
4 4 4 4

Sáng tác: Phạm Minh Tuấn
 Cách 1:

 Ta có z 1 z.z 1

 Đặt t  z  z  ;2 t  z  z z  z  z  2z.z  z  2 z  z
  
3 2 2 2 2
 z 3z  z  z z 3 z  t 1 t 1

1 2 3 3
 P t t       
 2  4 4

 Vậy minP  3 ;maxP 3 khi t  2
4

 M n  15
4

 Cách 2: Cách này của bạn Trịnh Văn Thoại
z 3z  z
 P  z 3z  z  z  z   z  z  z 3 z  z  z  z  z21  z  z
z  

2 3
 P  z  z 1 z  z  . Đến đây các bạn tự tìm max nhé
4

Bài 7: Cho các số phức a,b,c,z thỏa az bz c  0   0. Gọi z1và z2lần lượt là hai

nghiệm của phương trình bậc hai đã cho. Tính giá trị của biểu thức
2 2 2
P  z1 2  z1 z2  2z1 z 1

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

c c
A. P  2 C. P  4
a a

B. P  c D. P  . 1 c
a 2 a

 Giải:

2 2 2 2
 Ta có : z 1 z 2  z 1z 2  z1z 2  z1 z 2    1z 2  z1 z 2   2 z 1  2 z 2

 Khi đó P 4 z z 1 2

c c
 Ta lại có: z1 2  P  4 z z  1 2
a a

Bài 8: Cho 3 số phức z1,z 2z 3 thỏa mãn z1 z 2z  03 và z 1 z  z21 3 . Mệnh đề nào

dưới đây đúng?

2 2 2
A. z1 z 2  z 2z 3  z 3z 1 là số thuần ảo
2 2 2
B. z1 z 2  z 2z 3  z 3z 1 là số nguyên tố

2 2 2
C. z1 z 2  z 2z 3  z 3z 1 là số thực âm
2 2 2
D. z1 z 2  z 2z 3  z 3z 1 là số 1

 Chứng minh công thức:

2 2 2 2 2 2 2
 z1 z 2  z 2z 3  z 3z 1  z 1  z 2  z 3  z 1z  z2 3
2
 Ta có: z  z.z và z  z ... z  z  z ... z . Áp dụng tính chất này ta có
1 2 n 1 2 n

vế trái:

 z 1 2 z 1 z  2  z  2 3 z 2 z  3  z  3 1  z3 z 1

 z 1 1 z z  2 z2 z z3 3 z  1 1  z z 2 z2z  z3z 3 z z 1z 2  z 2 1 2 3 3 2 3 1 1 3
2 2 2
 z 1  z 2  z 3  z 1  z1 z 2z z  3 z 2z z 1 z  2 3  3 1 2 3
2 2 2
 z  z  z  z z  z  z  z  z
1 2 3 1 2 3  1 2 3 
2 2 2 2
 z 1  z 2  z 3  z 1z  z2 3

 Áp dụng công thức đã chứng minh suy ra: z  z 2  z  z 2  z  z 2 3 là số
1 2 2 3 3 1

nguyến số

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

z z
Bài 9: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn hai điều kiện z 1 và  1 ?
z z

A . 5 B. 6 C. 7 D. 8

 Giải:
2
 Ta có: z 1 z.z
2
 Đặt z cosxisinx,x 0;   cos2xisin2x

2  1
z z z  z cos2x  2
  1 1 2 cos2x 1 
z z z.z cos2x   1
 2

 Giải 2 phương trình lượng giác trên với x ;2 nên ta chọn được các giá trị

 5 7 11  2 4 5 
x  ; ; ; ; ; ; ; 
 6 6 6 6 3 3 3 3 
 Vậy có 8 số phức thỏa 2 điều kiện đề cho

Bài 10: Cho các số phức z ,z ,z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z  z  z 1999 và
1 2 3 1 2 3

z z z 0 . Tính P  z1 2z 2 3z z3 1 .
1 2 3 z z z
1 2 3

A. P 1999 P  999,5

2
B. P  1999 P  5997
 Giải

 z z  z z  z z  z .z  z .z z .z 
 P   1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1
 z1 z2 z3  z1 z2 z3 

 1999 2
 z1
 z1
 2
 Mặc khác: z  z  z  1999  z z z z  z z 1999 2  z  1999
1 2 3 1 1 2 2 3 3 2 z2
 2
 1999
 z3 z
 3

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2 2 2 2 2 2
 1999 1999 1999 1999 1999 1999 
z z  z z  z z  z . z  z . z  z . z 
 Suy ra P   1 2 2 3 3 1 1 2 2 2 23 2 3 1 1999 2
 z1 z2 z3  1999 1999 1999 
 z  z  z 
 1 2 3 
 P 1999

 Tổng quát: z1 z 2 z 3k  z z 1 2z 2 3z 3 1z z 1z 2 3

Bài 11: Cho số phức z thỏa mãn 33 2i z1 2i  3 . Gọi M và m lần lượt là giá trị
12 2i

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z33i . Tính M.m

A) M.n  25 B) M.n  20 C) M.n  24 D) M.n  30

 Dạng tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z1zz 2r . Tính Min, Max của

z r r z
zz . Ta có Max  2 z  ;Min   2z
3 z1 3 z1 z1 z1 3

 Áp dụng Công thức trên với z  33 2i ;z 1 2i,z  33i;r  3 ta được
1 2 3
12 2i
Max  6;Min  4

Bài tập áp dụng:

1) Cho số phức z thỏa mãn z22i 1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và

giá trị nhỏ nhất của z . Tính M.m

A) M.n  7 B) M.n  5 C) M.n  2 D) M.n  4

2) Cho số phức z thỏa mãn 12i z2 1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất
1i

và giá trị nhỏ nhất của zi . Tính M.m

1 1 1 1
A) M.n  B) M.n  C) M.n  D) M.n 
5 3 10 4

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3) Cho số phức z thỏa mãn z i4n1 in với n . Gọi M và m lần lượt là giá
i2

trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất cz3i . Tính M.m

A) M.n  20 B) M.n  15 C) M.n  24 D) M.n  30

Bài 12: Cho số phức z thỏa mãn z 1  z 1  4 . Gọim  min z và M  max z , khi

đó M.n bằng:

2 3
A. 2 B. 2 3 C. 3 3

 Giải:

 Dạng Tổng quát: z1z z2 z 1z 2k với z1 abi;z2 cdi;z  x yi
2
k 4 z 2 k
 Ta có: Min z  và Max z 
2 z1 2 z1

 Chứng minh công thức:
k
 Ta có: k  z1z z2 z 1z 2z z 1  z2zz1 2z2z  z1 . Suy ra
2 1

Max z  k
2 z1

 Mặc khác:
2 2 2 2
 z zz  z zz  k  axbyc   bxd   axbyc   bxd   k
1 2 1 2

 Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

2 2 2 2
k 1. axbyc   bxd  1. axbyc   bxd 

2 2 2 2
  1 2axby c   ay bxd   axbyc   aybxd 
 
2 2 2 2 2 2
 4 ab x  y  4 c d 

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------