Bài tập vận dụng cao số phức Để giúp các bạn học sinh có kết quả cao hơn trong học tập, Timdapan.com mời các bạn học sinh tham khảo Bài tập vận dụng cao số phức ôn thi THPT quốc gia, tài liệu được Timdapan.com tổng hợp và đăng tải chi tiết và chính xác. Mời các bạn học sinh thử sức. 50 câu trắc nghiệm số phức (Có đáp án) Câu hỏi trắc nghiệm Toán 12 chương 4: Số phức Đề thi thử THPT quốc gia môn Toán năm 2018 trường THPT thực hành Cao Nguyên - Đắk Lắk (Lần 3) Đề thi thử THPT quốc gia môn Toán năm 2018 trường THPT chuyên Vĩnh Phúc (Lần 5) Đề thi thử THPT quốc gia môn Toán năm 2018 trường THPT Hồng Quang - Hải Dương (Lần 4 ---------------------------------- Trên đây timdethi đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Bài tập vận dụng cao số phức ôn thi THPT quốc gia. Để có kết quả cao hơn trong học tập, Timdapan.com xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Thi thpt Quốc gia môn Toán, Thi thpt Quốc gia môn Hóa học, Thi thpt Quốc gia môn Vật Lý, Thi thpt Quốc gia môn Sinh học mà Timdapan.com tổng hợp v...
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn z 1. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức P z1 z z1 . Tính giá trị của M.n
13 3 39 13
A. B. C. 3 3 D.
4 4 4
Cách 1:
Re(z) là phần thực của số phức z, Im(z) là phần ảo của số phức z, z 1 z.z 1
Đặt t z 1, ta có0 z 1 z 1 z 1 2 t ;2
2
t 1 z1 z 1 z.z z z 2 2Re(z) Re(z) 2
2
2 2 2
z z1 z z z.z z z1 z t 3
Xét hàm số: f t t 3 ,t0;2. Xét 2 TH:
13 13 3
Maxf ; Minf 3 M.n
4 4
Cách 2:
z cosx isinx a bi
2
Do z 1 z.z z 1
r a 2b2 1
P 2 2cosx 2cosx 1 , đặt t cosx 1; f 2 2t 2t 1
1
TH1: t 1; 2
maxf f 3
1
f 2 2t 2 0 minf f 3
TH1: t 1;1
2
f' 1 2 0 7 maxf f 7 13
22t 8 8 4
13 13 3
Maxf 4 ; Minf 3 M.n 4
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn z 34i 5 . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị
2 2
nhỏ nhất của biểu thức P z 2 z i . Tính module số phức w M mi .
A. w 2 314 B. w 1258 C. w 3 137 D. w 2 309
Cách 1:
P4x3
P 4x2y 3 y 2
2
z 34i 5 x3 4 25 x P 4x3 4 5 f
2
f 8x 8P 4x 1 0 x 0,2P 1,6 y 0,1P 1,7
2 2 P 33
Thay vào f ta được: 0,2P 1,63 0,1P 1,7 4 5 0
P 13
Cách 2:
z 34i 5 x 5: C2
():4x 2y 3 P 0
Tìm P sao cho đường thẳng và đường tròn C có điểm chung
d ; R 23 P 10 13 P 33
Vậy MaxP 33 ; MinP 13
w 3313i w 1258
Bài 3: Cho số phức z thỏa mãn z 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thứcP z1 2 z1
.
A. B. C. D.
Pmax 2 5 Pmax 2 10 Pmax 3 5 Pmax 3 2
Giải: Theo BĐT Bunhiacopxki:
P z1 2 z1 2 2 z1 z1 2 10 z 1 2 5
Bài 4: Cho số phức z x yix, yR thỏa mãn z 2 4i z 2i m min z . Tính
module số phức w m x i.
A. w 2 3 B. w 3 2 C. w 5 D. w 2 6
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cách 1:
z 2 4i z 2i x y 4
2
2 2 x y 42
z x y 2 2
2 2
x y 4 x 2
min z 2 2, Dấu “=” xảy ra khi w 2 2 4i w 2 6
x y y 2
2
Chú ý: Với mọi x, y là số thực ta có: x y x y
2
Dấu “=” xảy ra khi x y
Cách 2:
z 2 4i z 2i y 4 x
2 2 2 2 2
z x y x 4 2 x2 8 2 2
x y 4 x 2
min z 2 2. Dấu “=” xảy ra khi x 2 y 2 w 2 2 4i w 2 6
Bài 5: Cho số phức z x yix, yR thỏa mãn z i 1 z 2. Tìm môđun nhỏ nhất
của z.
1
A. min z 2 B. min z 1 C. min z 0 D. min z
2
Cách 1:
z i 1 z 2i x y 1
x 2 1
x y
2 2
1 1
z x y
2 2
2
Chú ý: Với mọi x, y là số thực ta có: x y x
2
Cách 2:
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
z i 1 z 2i y x 1
2
z x y x x 1 2 2x 1 1 1 1
2 2 2 2
1
Vậy min z
2
Bài 6: Cho số phức z thỏa mãn z 1. Gọi M và m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
biểu thức P z 3z z z z Tính M m
7 3 15
A. B. 13 C. D.
4 4 4 4
Sáng tác: Phạm Minh Tuấn
Cách 1:
Ta có z 1 z.z 1
Đặt t z z ;2 t z z z z z 2z.z z 2 z z
3 2 2 2 2
z 3z z z z 3 z t 1 t 1
1 2 3 3
P t t
2 4 4
Vậy minP 3 ;maxP 3 khi t 2
4
M n 15
4
Cách 2: Cách này của bạn Trịnh Văn Thoại
z 3z z
P z 3z z z z z z z 3 z z z z z21 z z
z
2 3
P z z 1 z z . Đến đây các bạn tự tìm max nhé
4
Bài 7: Cho các số phức a,b,c,z thỏa az bz c 0 0. Gọi z1và z2lần lượt là hai
nghiệm của phương trình bậc hai đã cho. Tính giá trị của biểu thức
2 2 2
P z1 2 z1 z2 2z1 z 1
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
c c
A. P 2 C. P 4
a a
B. P c D. P . 1 c
a 2 a
Giải:
2 2 2 2
Ta có : z 1 z 2 z 1z 2 z1z 2 z1 z 2 1z 2 z1 z 2 2 z 1 2 z 2
Khi đó P 4 z z 1 2
c c
Ta lại có: z1 2 P 4 z z 1 2
a a
Bài 8: Cho 3 số phức z1,z 2z 3 thỏa mãn z1 z 2z 03 và z 1 z z21 3 . Mệnh đề nào
dưới đây đúng?
2 2 2
A. z1 z 2 z 2z 3 z 3z 1 là số thuần ảo
2 2 2
B. z1 z 2 z 2z 3 z 3z 1 là số nguyên tố
2 2 2
C. z1 z 2 z 2z 3 z 3z 1 là số thực âm
2 2 2
D. z1 z 2 z 2z 3 z 3z 1 là số 1
Chứng minh công thức:
2 2 2 2 2 2 2
z1 z 2 z 2z 3 z 3z 1 z 1 z 2 z 3 z 1z z2 3
2
Ta có: z z.z và z z ... z z z ... z . Áp dụng tính chất này ta có
1 2 n 1 2 n
vế trái:
z 1 2 z 1 z 2 z 2 3 z 2 z 3 z 3 1 z3 z 1
z 1 1 z z 2 z2 z z3 3 z 1 1 z z 2 z2z z3z 3 z z 1z 2 z 2 1 2 3 3 2 3 1 1 3
2 2 2
z 1 z 2 z 3 z 1 z1 z 2z z 3 z 2z z 1 z 2 3 3 1 2 3
2 2 2
z z z z z z z z z
1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 2 2 2
z 1 z 2 z 3 z 1z z2 3
Áp dụng công thức đã chứng minh suy ra: z z 2 z z 2 z z 2 3 là số
1 2 2 3 3 1
nguyến số
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
z z
Bài 9: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn hai điều kiện z 1 và 1 ?
z z
A . 5 B. 6 C. 7 D. 8
Giải:
2
Ta có: z 1 z.z
2
Đặt z cosxisinx,x 0; cos2xisin2x
2 1
z z z z cos2x 2
1 1 2 cos2x 1
z z z.z cos2x 1
2
Giải 2 phương trình lượng giác trên với x ;2 nên ta chọn được các giá trị
5 7 11 2 4 5
x ; ; ; ; ; ; ;
6 6 6 6 3 3 3 3
Vậy có 8 số phức thỏa 2 điều kiện đề cho
Bài 10: Cho các số phức z ,z ,z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z z z 1999 và
1 2 3 1 2 3
z z z 0 . Tính P z1 2z 2 3z z3 1 .
1 2 3 z z z
1 2 3
A. P 1999 P 999,5
2
B. P 1999 P 5997
Giải
z z z z z z z .z z .z z .z
P 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1
z1 z2 z3 z1 z2 z3
1999 2
z1
z1
2
Mặc khác: z z z 1999 z z z z z z 1999 2 z 1999
1 2 3 1 1 2 2 3 3 2 z2
2
1999
z3 z
3
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2 2 2
1999 1999 1999 1999 1999 1999
z z z z z z z . z z . z z . z
Suy ra P 1 2 2 3 3 1 1 2 2 2 23 2 3 1 1999 2
z1 z2 z3 1999 1999 1999
z z z
1 2 3
P 1999
Tổng quát: z1 z 2 z 3k z z 1 2z 2 3z 3 1z z 1z 2 3
Bài 11: Cho số phức z thỏa mãn 33 2i z1 2i 3 . Gọi M và m lần lượt là giá trị
12 2i
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z33i . Tính M.m
A) M.n 25 B) M.n 20 C) M.n 24 D) M.n 30
Dạng tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z1zz 2r . Tính Min, Max của
z r r z
zz . Ta có Max 2 z ;Min 2z
3 z1 3 z1 z1 z1 3
Áp dụng Công thức trên với z 33 2i ;z 1 2i,z 33i;r 3 ta được
1 2 3
12 2i
Max 6;Min 4
Bài tập áp dụng:
1) Cho số phức z thỏa mãn z22i 1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của z . Tính M.m
A) M.n 7 B) M.n 5 C) M.n 2 D) M.n 4
2) Cho số phức z thỏa mãn 12i z2 1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất
1i
và giá trị nhỏ nhất của zi . Tính M.m
1 1 1 1
A) M.n B) M.n C) M.n D) M.n
5 3 10 4
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3) Cho số phức z thỏa mãn z i4n1 in với n . Gọi M và m lần lượt là giá
i2
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất cz3i . Tính M.m
A) M.n 20 B) M.n 15 C) M.n 24 D) M.n 30
Bài 12: Cho số phức z thỏa mãn z 1 z 1 4 . Gọim min z và M max z , khi
đó M.n bằng:
2 3
A. 2 B. 2 3 C. 3 3
Giải:
Dạng Tổng quát: z1z z2 z 1z 2k với z1 abi;z2 cdi;z x yi
2
k 4 z 2 k
Ta có: Min z và Max z
2 z1 2 z1
Chứng minh công thức:
k
Ta có: k z1z z2 z 1z 2z z 1 z2zz1 2z2z z1 . Suy ra
2 1
Max z k
2 z1
Mặc khác:
2 2 2 2
z zz z zz k axbyc bxd axbyc bxd k
1 2 1 2
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
2 2 2 2
k 1. axbyc bxd 1. axbyc bxd
2 2 2 2
1 2axby c ay bxd axbyc aybxd
2 2 2 2 2 2
4 ab x y 4 c d
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------